مدل سـازی


مقدمه
برای تعیین جواب یک مسئله واقعی، تسلط بر تمام جوانب کار امری ناممکن است، بنابراین نمایش خاصی از واقعیت را در نظر گرفته و بر روی آن مطالعه می کنیم که به آن مدل می گوییم. اینکه چه جنبه ای از مسئله را باید در نظر گرفت بستگی به هدف ما از برخورد با مسئله دارد. مدلهای مختلفی برای یک موضوع وجود دارد. شناخت مدل و حل آن بسیار مهم است. از جمله مدلهای مطرح در مدیریت و صنعت مدل ریاضی است که برای مسائل کمیت¬پذیر بکار می رود. در این فصل به معرفی این مدل می پردازیم و با مراحل مختلف ساخت آن آشنا خواهیم شد.

پیدایش پژوهش عملیاتی (OR)
موضوع پژوهش عملیاتی یا تحقیق در عملیات در طول جنگ جهانی دوّم توسط دانشمندان انگلیسی توسعه و گسترش یافت. مدیریت جنگ انگلیس در آن برهه، گروهی از دانشمندان را که با مسائل تاکتیکی و استراتژیک در رابطه با دفاع هوائی و زمینی تخصص داشتند، مأمور تحقیقاتی در این زمینه نمود. دلیل اصلی انجام چنین مطالعاتی، محدودیت منابع و بودجه نظامی بود. بدین سبب لازم بود که چگونگی استفاده مناسب و حداکثر از منابع نظامی مورد بررسی و مطالعه قرار گیرد. چنانچه از نام پژوهش عملیاتی مستفاد می گردد، علت بکارگیری آن ماهیت مطالعه تیمی بود که بر روی عملیات (نظامی) تحقیق می نمودند. دانشمندان، مسائل گوناگونی را مورد تحقیق قرار داده و نیز بر اساس مطالعه کمّی از عملیات، شیوه های معیّنی را پیشنهاد می نمودند که موفقیت قابل ملاحظه را به همراه داشت. نتایج ارزشمند حاصل از پژوهش عملیاتی توسط تیم انگلیسی، به سرعت مدیریت نظـامی ایالات متحده را به فعالیتهـائی در این زمینه ترغیب نمود. نوآوریهـای موفقیت¬آمیـز توسط تیمهـای آمریکـائی شـامل توسعه الگوهـای جدید پـرواز، برنامه¬ریزی در مین¬گذاری دریا و بهره¬برداری مؤثر از تجهیزات الکترونیکی می¬شد. در این رابطه گروههـای پژوهش عملیاتی مشابهی در این کشورها از جمله کانادا و فرانسه مشغول به فعالیت شدند.
پس از جنگ، موفقیت گروههای نظامی، توجه مدیران صنعتی را به خود جلب نمود. مدیران در جستجوی راه-حلهائی برای مسائل خود بودند که بر اثر ورود تخصص شغلی در تشکیلات تجاری، روز¬به¬روز حادتر می شدند. زیرا با وجود این واقعیت که اصولاً مشاغل تخصصی برای خدمت به هدف کلی یک سازمـان به¬ وجود می¬آیند، اهداف فردی این مشاغل ممکن است همواره با مقاصد آن سازمان سازگار نباشند. این وضع منجر به مسائل تصمیم-گیری پیچیده¬ای شده است که نهایتاً سازمانها را مجبور نموده تا درصدد استفاده از مؤثرترین روشهای OR برآیند.
همزمان با رونق اقتصادی بعد از جنگ، مسائل ناشی از افزایش تخصص و پیچیدگی در سازمانها پدیدار گردید. تعداد زیادی از کارشناسان، منجمله مشاورین صنعتی و اقتصادی که در خلال جنگ با گروههای پژوهش عملیاتی همکاری داشتند، بتدریج درمی¬یافتند که محتوای مسائل صنعتی و اقتصادی با مسائل نظامی فرقی ندارد و تنها شکل آنها با یکدیگر متفاوت است. به این ترتیب، پژوهش عملیاتی به خدمت صنعت، اقتصاد، و فعالیتهای دولتی درآمد. تنها در اوایل دهه 1950 بود که بخش صنعت در آمریکا به جذب کارشناسان OR (به دلایلی از قبیل فشار رو به افزون تقاضا برای بهره¬برداری بیشتر، پایان منازعه دو کشور کره و توسعه سریع تکنولوژیکی در بخش صنعت) گرایش پیدا نمود.
دست کم دو عامل دیگر نیز در رشد روزافزون پژوهش عملیـاتی نقش تعیین کننده
داشتند. عامل اوّل پیشرفتهای چشمگیری بود که در همان اوایل در زمینه توسعه فنون مربوط به پژوهش عملیاتی صورت گرفت. بعد از جنگ، دانشمندانی که در گروههای OR کار کرده و یا در مورد آن مطالعاتی داشتند، انگیزه کافی برای پیگیری تحقیقات مربوط را پیدا کردند و در این راه به پیشرفتهای مهمی دست یافتند. ابداع «روش سیمپلکس» برای حل مسائل «برنامه ریزی خطی» توسط جرج دانتزیگ در سال 1947 از اوّلین و مهمترین دستاوردهای این پژوهشها بود. برخی از ابزارهای متعارف پژوهش عملیاتی، نظیر «برنامه¬ریزی پویا»، «نظریه ¬صف» و «نظریه موجودیها» تا سال 1950 نسبتاً توسعه یافته بودند.
پیشرفت مؤثر در رشته پژوهش عملیاتی تا اندازة زیادی مرهون توسعة همزمان رایانه است، که توانائی عجیبی در سرعت محاسباتی و ذخیره کردن و بازخوانی اطلاعات دارد. در حقیقت اگر رایانه نبود، پژوهش عملیاتی با داشتن مسائل محاسباتی در مقیاس وسیع، موقعیت نویدبخش فعلی را در انواع زمینه¬های عملیاتی کسب نمی¬کرد.

پیشرفت چشمگیر مبانی ریاضی فنون پژوهش عملیاتی از یک¬ طرف و توسعه تکنولوژیک رایانه از طرف دیگر، دامنه کاربرد پژوهش عملیاتی را به جائی کشانده که امروزه سازمانها درصدد تهیه سیستمهای هوشمند با استفاده از «منطق فازی» هستند. این دسته از فنون تصمیم¬گیری درصدد بهبود تصمیمات مدیران در شرایط مبهم و نادقیق هستند. روشهای جدید پژوهش عملیاتی به طراحان «سیستمهای اطلاعاتی مدیریت» یاری خواهند داد تا با تهیة «سیستمهای خبره» و «سیستمهای پشتیبانی تصمیم» مدیران را در برنامه¬ریزی و تصمیم¬گیری هرچه بهتر و واقعی¬تر حمایت کنند.
تعریف پژوهش عملیاتی
پژوهش عملیاتی را می¬توان به¬عنوان مجموعه¬ای از مدلها و تکنیک¬های کمّی در نظر گرفت که با استفاده از روش-های علمی، مدیران را در تصمیم¬گیری هدایت و راهنمائی می¬کند.

ویژگی¬های پژوهش عملیاتی
از مهمترین ویژگیهای OR می توان به موارد زیر اشاره کرد:
1- تمرکز اصلی و اولیه OR بر تصمیم¬گیری مدیران است.
2- رویکرد OR یک رویکرد علمی است.
3- در OR مسائل و تصمیمات با نگاه سیستمی بررسی می¬شوند.
4- رشتۀ OR یک رشته از ترکیب چندین رشتۀ مستقل است. بعبارت دیگر OR یک دانش بین¬رشته ای است.
5- در OR از مدلهای ریاضی استفاده می¬شود.
6- در OR از رایانه به وفور استفاده می¬شود. از جمله نرم افزارهای آموزشی OR می¬توان به نرم-افزارهای AB:QM و QSB اشاره کرد و مهمترین نرم¬افزارهای کاربردی و حرفه¬ای شامل LINDO ،LINGO و GAMS می¬باشند که امروزه به¬وفور در کشور مورد استفاده قرار می-گیرند.

گامهای حل مسئله
سه قدم برای حل یک مسئله واقعی باید طی شود:
قدم اوّل: مدل¬سازی و یا اصطلاحاً فرموله¬کردن می¬باشد.
قدم دوّم: حل مدل با استفاده از تکنیکهای موجود.
قدم سوّم: تحلیل نتایج، که از اهمیت فوق العاده¬ای برخوردار است.

شمای کلی حل مسئله
شمای کلی حل مسئله در نمودار زیر آمده است:
مسئله واقعی(فرموله کردن) مدل(حل) نتیجه مدل(تحلیل) نتیجه واقعی




مدل¬سازی
مدل¬سازی از ضروریات فعالیتهای علمی می¬باشد. منظور از مدل، نمایش ساده شدۀ یک واقعیت است. بنابراین نباید انتظار داشت که مدل، پدیده را بطور کامل بیان نماید.
انواع مدل¬سازی
مدل¬سازی با درجات متفاوتی از ساده¬سازی همراه می¬باشد و بسته به میزان آن انواع مدل تعریف می¬گردد.
1- مدل شمایلی: این مـدل جایگزین فیـزیکی سیستم می¬شود که معمولاً در اندازه¬های متفاوت از اصل سیستم نشان داده می شود. این دسته از مدلها با کمترین انتزاع (ساده¬سازی) از واقعیت همراه هستند. مانند ماکت سه بعدی هواپیما، اتومبیل و یا شمایل مربوط به خط تولید و ...
2- مدل قیاسی: این مدل دقیقاً مشابه سیستم اصلی نیست ولی بیان¬کننده واقعیاتی از آن می¬باشد و نسبت به مدل شمـایلی قـابلیت دستکـاری بیشتری دارد. مثل نمودارهای سازمانی که نشان¬دهندۀ ساختار، روابط و مسئولیتها در سازمان است.
3- مدل ریاضی: این مدل برای مسائل کمّیت¬پذیر مطرح می¬گردد. مثل میزان تولید، خرید، فروش، میزان سوددهی و ... این مدل از انتزاعی¬ترین (ساده¬سازی شده¬ترین) مدلها می¬باشد و برای مسائلی که پیچیدگی زیادی داشته باشند به خوبی قابل استفاده است.

مدلهای ریاضی از لحاظ نوع روابط حاکم بر مسئله به دو دسته تقسیم می شوند:
الف- مدل خطی: در این مدل، تمـام روابط حـاکم خطی است. مانند مـدل برنامه¬ریزی خطی، مدل حمل و نقل و مدل تخصیص.
ب- مدل غیرخطی: در این مدل، حداقل یکی از روابط بیان شده در مدل، غیرخطی می¬باشد. مانند مدلهای بهینه-یابی غیرخطی.

فرایند عملی ساخت یک مدل برنامه¬ریزی خطی
این فرایند را با بیان مسائلی به صورت شهودی توضیح می¬دهیم:
مثال 1- یک شرکت تولیدی در نظر دارد سه محصول را به گونه ای تولید کند که ضمن رعایت محدودیت منابع، به حداکثر سود نائل شود. میزان مصرف منابع، شامل نیروی انسانی و مواد اولیه و همچنین سود هر واحد از سه محصول در جدول زیر مشخص است؛ کل نیروی انسانی در اختیار 200 نفر- ساعت و مواد در دسترس نیز 150 کیلوگرم می باشد. مسئله را با استفاده از یک مدل برنامه¬ریزی خطی فرموله کنید.

میزان منابع موجود میزان مصرف به ازای هر واحد تولید
محصول 3 محصول 2 محصول 1
200 نفر- ساعت 5 2 6 نیروی انسانی (نفر- ساعت/ واحد)
150 کیلوگرم 3 5 4 مواد اولیه (کیلوگرم/ واحد)
30 30 40 میزان سود¬دهی (ریال/ واحد)

حل- فعالیت مطرح شده در این مسئله میزان تولید است که مجهول بوده و باید آن را معین نمود. فرض کنیم:
1 X: میزان تولید محصول اوّل
2 X: میزان تولید محصول دوّم
3 X: میزان تولید محصول سوّم
که مدیر تولید باید در مورد مقادیر آنها تصمیم بگیرد.
مثلاً اگر تصمیم به تولید 10 واحد از محصول اوّل داشته باشد 10=1 X خواهد بود.
این اولین مرحلۀ فرمول¬سازی است که اصطلاحاً تعیین متغیرهای تصمیم گفته می¬شود. حال باید ببینیم هدف از تولید چیست: در این مثال، هدف حداکثرسازی سود می¬باشد. بنا به آنچه در جدول آمده است میزان سوددهی هر واحد محصول اوّل 40 ریال می¬باشد؛ بنـابراین به¬ازای تولید 1 Xواحد از محصول اوّل، 1 X40 سود عاید شرکت خواهد شد. این موضوع برای محصولات دوّم و سوّم نیز صادق است. بنابراین سود کلی عبارت است از : 3 X30 + 2 X30 + 1 X40
که هدف حداکثر کردن آن است. اصطلاحاً به این مرحله تعیین تابع هدف گفته می¬شود که عبارت است از: 3 X30 + 2 X30 + 1 X40 = Max Z
اما در این راه محدودیت¬هائی وجود دارد. در اینجا محدودیت¬های حاکم بر مسئله، نیروی انسانی و مواد اوّلیه می-باشد. میزان مورد نیاز نیروی انسانی برای هر واحد محصول اوّل 6، هر واحد محصول دوّم 2 و هر واحد محصول سوّم 5 نفر-¬ ساعت است. بنابراین برای تولید 1 Xواحد محصول اوّل، 2 Xواحد محصول دوّم و 3 Xواحد محصول سوّم به ترتیب 1 X6 و 2 X2 و 3 X5 نفر-¬¬ ساعت نیروی انسانی لازم است و در کل 3 X5 + 2 X2 + 1 X6، ولی میـزان حداکثر نیروی انسـانی 200 نفر- ساعت است. پس محدودیت بصورت زیر در می¬آید:
200 ≤ 3 X5 + 2 X2 + 1 X6
مشابهاً محدودیت مواد اوّلیه به¬صورت زیر بیان می¬شود:
150 ≤ 3 X3 + 2 X5 + 1 X4
به این محدودیت¬هـا که در صورت مسئلـه مستقیمـاً قیـد شده¬اند اصطلاحـاً محدودیت¬های کارکردی گویند.
اما یک سری محدودیت¬ها در ذات مسئله وجود دارند. برای مثال در مسئله بالا صحبت از تولید است؛ کارخانه، یا محصول j ام )3،2،1= ( j را تولید می¬کند و یا از تولید آن صرف¬نظر خواهد کرد. بنـابراین محدودیت¬هائی به صورت زیر ظاهر
می¬شوند: 0 ≤ 3 X و 0 ≤ 2 X ، 0 ≤ 1 X
(مثلاً 0= 1 X نشاندهندۀ آن است که محصول اوّل تولید نمی¬گردد و 0< 4 = 1 X نشان¬دهندۀ تولید محصول اوّل به میزان 4 واحد است). این محدودیت¬ها را اصطلاحاً محدودیتهای علامت می¬گوئیم.
به این ترتیب مرحلۀ سوّم فرموله کردن که تعیین محدودیتها می¬باشد به پایان می¬رسد و بیان ریاضی مسئله به صورت زیر می¬باشد:
3 X30 + 2 X30 + 1 X40= Max Z : تابع هدف

{محدودیت هایکارکردی

S.t. (Subject to)به شرط آنکه
200 ≤ 3 X5 + 2 X2 + 1 X6
150 ≤ 3 X3 + 2 X5 + 1 X4
0 ≤ 3 X و 0 ≤ 2 X ، 0 ≤ 1 X {محدودیت های علامت

دقت نمائید در تمام مسائل فرموله کردن، مثل هر مسئله دیگر در دنیای واقعی،
- در ابتدا باید بدانیم چه کاری می خواهیم انجام دهیم ؟ (تعیین متغیر تصمیم)
- هدف از انجام آن چیست ؟ (تابع هدف)
- برای رسیدن به آن چه محدودیت¬هائی وجود دارد ؟ (محدودیت¬های کارکردی و علامت)

مثال 2- شخصی هفتصد میلیون ریال سرمایه دارد که می¬خواهد در بخشهای مختلف سرمایه¬گذاری نماید. زمینه-های مختلف سرمایه¬گذاری عبارتند از: اوراق قرضه با 5/8 % بازده سالانه، سپرده بانکی با 5 % بازده سالانه، اسناد خزانه با 5/6 % بازده سالانه و خرید سهام با 13 % بازده سالانه. زمینه¬های سرمایه¬گذاری همگی پس از یکسال قابل ارزیابی و بازنگری هستند. هر زمینه سرمایه¬گذاری دارای ریسک مختص به خود است. بنابراین سرمایه¬گذار بمنظور کاهش ریسک درصدد تقسیم سرمایۀ خود بین بخشهای مختلف سرمایه¬گذاری است. برای گریز از ریسک،
سرمایه¬گذار سیاست سرمایه¬گذاری را به صورت زیر مشخص کرده است:
1. مجموع سرمایه¬گذاری در اوراق قرضه بیشتر از 20 % کل سرمایه نباشد.
2. مبلغ سرمایه¬گذاری در سپردۀ بانکی بیش از مجموع سرمایه¬گذاری در سه زمینۀ دیگر نباشد.
3. مجموع سرمایه¬گذاری در اسناد خزانه و سپردۀ بانکی حداقل 30 % کل سرمایه باشد.
4. به منظور ایجاد حاشیه اطمینان، نسبت مجموع سرمایه¬گذاری در سپردۀ بانکی و اسناد خزانه به مجموع سرمایه¬گذاری در اوراق قرضه و خرید سهام 2/1 به 1 باشد.
حال مسئله را به منظور حداکثر کردن کل بازده سالانه ناشی از سرمایه¬گذاری در زمینه¬های مختلف فرموله کنید. با توجه به این نکته که سرمایه¬گذار تمایل دارد کل سرمایه خود را سرمایه¬گذاری نماید.

حل- متغیرهای تصمیم: چهار متغیر تصمیم برای این مسئله وجود دارد که هر یک از آنها مبلغ سرمایه گذاری را در هر زمینۀ خاص نشان می دهد.
1 X: مبلغ سرمایه¬گذاری در اوراق قرضه
2 X: مبلغ سرمایه¬گذاری در سپرده بانکی
3 X: مبلغ سرمایه¬گذاری در اسناد خزانه
4 X: مبلغ سرمایه¬گذاری در خرید سهام
تابع هدف: هدف سرمایه¬گذار حداکثر کردن کل بازده سالانه ناشی از سرمایه¬گذاری در چهار زمینۀ مختلف است. کل بازده، از مجموع بازدۀ هر یک از زمینه¬های سرمایه¬گذاری حاصل خواهد شد. بنابراین تابع هدف به صورت زیر تعریف می شود: 4 X13/0 + 3 X065/0 + 2 X05/0 + 1 X085/0= Max Z
محدودیت¬های مدل: اوّلین سیـاست این بود که کل مبلـغ قـابل سرمـایه¬گذاری در
اوراق قرضه بیش از 20% سرمایه نباشد. کل سرمایه هفتصد میلیون ریال است، پس 20% آن یکصدوچهل میلیون ریال خواهد شد. بنابراین، محدودیت متناظر عبارتست از: ریال 140000000 ≤ 1 X
سیاست دوّم این است که سرمایه¬گذاری در بانک (سپرده بانکی) بیش از کل مبلغ سرمایه¬گذاری در 3 زمینه دیگر نباشد. از آنجا که میزان سپرده بانکی 2 Xاست و کل سرمایه گذاری در دیگر زمینه ها 4 X+ 3 X+ 1 X است. محدودیت متناظر عبارتست از: 4 X+ 3 X+ 1 ≤ X 2 X
از آنجا که برای بکارگیری تکنیک حل در برنامه¬ریزی خطی لازم است که مدل به¬صورت استاندارد نوشته شود، پس کلیه متغیرها باید به سمت چپ محدودیت انتقال یابد و سمت راست به صورت مقدار عددی تعریف شود. بنابراین می¬توان محدودیت دوّم را به صورت زیر نوشت: 0 ≤ 4 X- 3 X- 1 X- 2 X
در سیاست سوّم مشخص شد که مجموع مبلغ سرمایه گذاری در سپرده بانکی و اسناد خزانه حداقل 30% کل سرمایه باشد. از آنجا که 30% هفتصد میلیون ریال برابر با دویست و ده میلیون ریال خواهد شد، پس می توان نوشت:
210000000 ≤ 3X + 2 X

3X + 2 X
4X + 1 X

سیاست چهارم بیانگر، نسبت سرمایه گذاری در سپرده بانکی و اسناد خزانه، به مجموع سرمایه¬گذاری در اوراق قرضه و سهام است. این نسبت باید حداقل 2/1 به 1 باشد. یعنی:
2/1 ≤

این محدودیت نیز در برنامه¬ریزی خطی یک محدودیت غیراستاندارد است. چون بصورت کسری تعریف شده است، پس باید آن را به صورت زیر تغییر داد:
0 ≤ 4X 2/1- 1 X2/1- 3X + 2 X → (4X + 1 X) 2/1 ≤ 3X + 2 X
نهایتاً سرمایه گذار تمایل داشت که کل سرمایۀ هفتصد میلیون ریالی خود را سرمایه¬گذاری کند. بنابراین مجموع سرمایه¬گذاری در چهار زمینه باید مساوی هفتصد میلیون ریال باشد. یعنی: 700000000= 4 X+ 3 X+ 2 X+ 1 X

خلاصه مدل: با اضافه کردن محدودیتهای علامت، مدل کامل مسئله سرمایه¬گذاری به¬صورت زیر خلاصه می¬شود:
4 X13/0 + 3 X065/0 + 2 X05/0 + 1 X085/0= Max Z
140000000 ≤ 1 X S.t:
0 ≤ 4 X- 3 X- 2X + 1 X-
210000000 ≤ 3X + 2 X
0 ≤ 4X 2/1- 3X + 2 X+ 1 X2/1-
700000000 = 4 X+ 3 X+ 2 X+ 1 X
0 ≤ 4X و 3X و 2 X و 1 X

مثال 3- یک فروشگاه زنجیره¬ای برای بالا بردن فروش خود درصدد است که تبلیغات را در سطح وسیعی برنامه-ریزی کند. سه نوع وسیله تبلیغاتی موجود عبارتند از: آگهی تبلیغاتی تلویزیون، آگهی تبلیغاتی رادیو و آگهی تبلیغاتی روزنامه. هزینه هر بار تبلیغات و تعداد مشتریانی که در معرض هر بار تبلیغات قرار می¬ گیرند، برحسب نوع وسیلۀ تبلیغات در جدول زیر داده شده است:


وسیله تبلیغات تعداد افرادی که در معرض
تبلیغات قرار می گیرند هزینه (تومان)
آگهی تبلیغاتی تلویزیون 20000 150000
آگهی تبلیغاتی رادیو 12000 60000
آگهی تبلیغاتی روزنامه 9000 40000

شرکت باید محدودیتهای زیر را در تبلیغات خود مدنظر داشته باشد:
1- کل بودجۀ تبلیغات یک میلیون تومان است.
2- مجوز تعداد تبلیغات تلویزیون حداکثر 4 نوبت است.
3- مجوز تعداد تبلیغات رادیو حداکثر 10 نوبت است.
4- مجوز تعداد آگهی روزنامه برای 7 نوبت است.
5- مجموع آگهی¬های تبلیغاتی در سه وسیله نباید بیشتر از 15 نوبت باشد.
حال مسئله را به صورت یک مدل برنامه¬ریزی خطی فرموله کنید.

حل- متغیرهای تصمیم: در این مسئله سه نوع متغیر تصمیم وجود دارد که هر یک از آنها بیانگر تعداد تبلیغات در هر وسیله است. به شرح زیر:
1 X: تعداد آگهی تبلیغاتی تلویزیون
2 X: تعداد آگهی تبلیغاتی رادیو
3 X: تعداد آگهی تبلیغاتی روزنامه
تابع هدف: در این مدل هدف این است که تعداد کل شنونده ای که در معرض آگهی¬های تبلیغاتی شرکت قرار می گیرند، حداکثر شود. یعنی:
3 X9000 + 2 X12000 + 1 X20000= Max Z
محدودیت¬های مدل:
1000000 ≤ 3 X40000 + 2X 60000 + 1 X150000
4 ≤ 1 X
10 ≤ 2 X
7 ≤ 3 X
15 ≤ 3 X+ 2 X+ 1 X
0 ≤ 3X و 2 X و 1 X