دو نمونه پرسش برنامه ریزی خطی به همراه پاسخ
در این بخش دو نمونه از تمرین هایی که در درس سیستم های تصمیم یار در بخش برنامه ریزی خطی یا Linear Programming که در سال ۸۹ مطرح شده بود به همراه پاسخ آنها برای یادگیری دانشجویان داده شده است. چند نمونه پرسش دیگر نیز در این تاپیک قابل دریافت است. لطفا اگر در پاسخ ها اشتباهی می بینید تذکر دهید تا تصحیح شود. اگر از این مطلب در جای دیگر استفاده می کنید لطفا لینک به این صفحه را فراموش نکنید.

- مسئله نمونه شماره ۱ از برنامه ریزی خطی ، شرکت تولید ماشین حساب:
یک شرکت تولید کننده ماشین حساب دو نوع ماشین حساب تولید میکند، ماشین حساب علمی و نموداری (گرافیکی). پیش بینی های دراز مدت نشان می دهد که حداقل باید ۱۰۰ ماشین حساب علمی و ۸۰ ماشین حساب نموداری در روز تولید شود. به دلیل محدودیت در ظرفیت تولید، بیش از ۲۰۰ ماشین حساب علمی و ۱۷۰ نموداری نمیتوان در روز تولید کرد. برای راضی نگهداشتن و عمل به قراردادهای بخش حمل و نقل حداقل ۲۰۰ ماشین حساب بایستی در روز بارگیری و منتقل شود. اگر فروش هر یک از ماشین حسابهای علمی منجر به از دست دادن ۲ دلار اما فروش هر ماشین حساب نموداری منجر به ۵ دلار سود شود چه تعداد از هرکدام بایستی روزانه ساخته شود تا بیشترین سود خالص را داشته باشیم؟
پاسخ: این سوال در واقع تعداد بهینه ماشین حسابهای تولیدی را میخواهد بنابراین دو متغیر خواهیم داشت:
X: تعداد ماشین حسابهای علمی
Y: تعداد ماشین حسابهای نموداری
به دلیل اینکه تعداد ماشین حسابها نمیتواند منفی باشد پس این دو فرض را در نظر میگیریم:
x > 0 و y > ۰
اما در این مسئله باید x > 100 و y > ۸۰ باشد. و همچنین تعداد ماکزیموم نیز تعیین شده است: x < 200 و y < 170
از نظر حمل و نقل نیز داریم: x + y > 200 یا به عبارتی y > –x + 200
و نسبت سود و زیان نیز معادله ما خواهد بود. یعنی:
R = –۲x + 5y,
مشروط به اینکه:
۱۰۰ < x < 200
80 < y < ۱۷۰
y > –x + 200
ناحیه امکانپذیری:

با بررسی رئوس این ناحیه یعنی نقاط (۱۰۰, ۱۷۰), (۲۰۰, ۱۷۰), (۲۰۰, ۸۰), (۱۲۰, ۸۰), و (۱۰۰, ۱۰۰), و تست آنها در معادله R مشاهده میکنیم که حداکثر میزان R در نقطه (x, y) = (100, 170) و R=650 خواهد بود. و این جواب مسئله است. ۱۰۰ ماشین حساب علمی و ۱۷۰ ماشین حساب نموداری.

________________________________________
- مسئله نمونه شماره ۲ از برنامه ریزی خطی ، سرمایه گذاری در سه محل:
فرض کنید شما ۱۲۰۰۰ دلار برای سرمایه گذاری در اختیار دارید و سه محل نیز برای سرمایه گذاری وجود دارد. صندوق اوراق قرضه شهری بازگشت سود ۷ ٪، اوراق مشارکت بانکی با سود ۸٪، و یک حساب با ریسک بالا که انتظار میرود ۱۲٪ سود داشته باشد. برای به حداقل رساندن ریسک شما تصمیم میگیرید بیشتر از ۲۰۰۰ دلار در حساب با ریسک بالا سرمایه گذاری نکنید. بنا به دلایل مالیاتی، شما نیاز به حداقل سه بار سرمایه گذاری در اوراق قرضه شهری دارید. فرض کنید که پایان سال به نحو مطلوبی در حال به اتمام رسیدن است. بهترین حالت سرمایه گذاری چه خواهد بود؟
مجهولات معادله عبارتند از:
X: سرمایه گذاری اوراق قرضه (مضرب هزار دلار)
Y: خرید اوراق مشارکت بانکی (مضرب هزار دلار)
و برای سومین محل سرمایه گذاری باید از این عبارت استفاده کنیم: “چه مقدار پول باقی مانده است؟”
۱۲ – x – y: میزان سرمایه گذاری با ریسک بالا (مضرب هزار دلار)
ضمنا مقدار هیچ یک از سرمایه گذاریها نمیتواند منفی باشد:
x > ۰ and y > 0 and ۱۲ – x – y > 0 ⇒ y < –x + 12
همچنین قرار شد که سرمایه گذاری با ریسک بالا بیشتر از ۲۰۰۰ دلار نباشد. یعنی:
(۱۲ – x – y) < 2 ⇒ y > –x + 10
این شرط نیز از شرایط مالیات نتیجه گیری میشود: y < ( 1/3 )x
در نتیجه معادله بهینه عبارت خواهد بود از جمع کل سرمایه گذاریها:
Y = 0.07x + 0.08y + 0.12(12 – x – y) = 1.44 – ۰٫۰۵x – ۰٫۰۴y
و به عبارتی:
Maximize Y = 1.44 – ۰٫۰۵x – ۰٫۰۴y,
با شرط:
x > ۰
y > 0
y > –x + 10
y < –x + 12
y < ( 1/3 )x


با تست نقاط گوشه یعنی (۹, ۳), (۱۲, ۰), (۱۰, ۰), و (۷٫۵, ۲٫۵) به مقدار حداکثر ۹۶۵ دلار سود خواهیم رسید که از سرمایه گذاری ۷۵۰۰ دلار در اوراق قرضه شهری، ۲۵۰۰ دلار اوراق مشارکت بانکی و ۲۰۰۰ دلار در سرمایه گذاری پرخطر به دست می آید.





•

تایید شد...